Improving the mass conservation of the level set method in a finite element context

Article history: Received 6 January 2010 Accepted after revision 12 March 2010 Available online 13 April 2010 Presented by Olivier Pironneau In this Note, a new algorithm is proposed for improving the mass conservation of the level set method in the finite element context. Two kinds of Lagrange multipliers are introduced, associated respectively to the redistancing and advection equations. The first one, is located at the vicinity of the interface, while the second one is associated to a correction that is global to the domain. The performances of the proposed method are tested on the Zalesak test case, and the convergence rate versus the element mesh size are founded to be improved. © 2010 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. r é s u m é Dans cette Note, nous proposons un nouvel algorithme pour améliorer la conservation de la masse dans la méthode des fonctions de niveau dans un cadre éléments finis. Deux types de multiplicateurs de Lagrange sont introduits, associés respectivement à l’équation de redistanciation et à celle d’advection. Le premier est localisé au voisinage de l’interface, tandis que le second est associé à une correction globale au domaine de calcul. Les performances de la méthode proposée sont testées avec le cas test du disque de Zalesak, et nous observons que le taux de convergence par rapport au la taille des éléments du maillage est amélioré. © 2010 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Version française abrégée Les méthodes numériques pour résoudre des problèmes à surface libres et des problèmes d’interfaces ont pris ces dernières années une importance croissante en physique et réalité virtuelle. Les applications recouvrent des domaines aussi variés que les interfaces liquide–vapeur, les mousses et les émulsions, les tsunamis ou le comportement d’un globule rouge dans une artère. La méthode des fonctions de niveau (voir par exemple [3,6]), s’appuyant sur un maillage fixe du milieu continu tridimensionnel, est devenue de plus en plus courante pour ce type de problème, car elle s’avère particulièrement souple lorsque les interfaces se déforment fortement ou présentent des changements topologiques (coalescence, etc.). Une autre approche très répandue est la méthode de suivi lagrangien de l’interface par un maillage surfacique variable : moins E-mail addresses: [email protected] (A. Laadhari), [email protected] (P. Saramito). 1631-073X/$ – see front matter © 2010 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. doi:10.1016/j.crma.2010.03.011 536 A. Laadhari et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 348 (2010) 535–540 apte aux changements topologiques, elle a cependant l’avantage de conserver mieux la masse, c’est à dire le volume du fluide, particulièrement pour des interfaces à courbure discontinue ou très minces. Des tentatives pour améliorer la conservation de la masse dans méthode des fonctions de niveau a a conduit à de nombreuses approches, telles que augmenter l’ordre des schémas [2]. Enright et al. [1], dans le cadre d’une méthode particulaire, a proposé d’utiliser des marqueurs lagrangiens pour reconstruire la fonction de niveau dans les régions sous-résolues. Une autre approche, proposée par Sussman et Fatemi [7] dans le cadre de la méthode des différences finies, consiste à ajouter une contrainte à l’équation de redistanciation discrète afin de mieux conserver la masse. Dans cette Note, dans le cadre de la méthode des éléments fini, nous proposons deux améliorations indépendantes de la conservation de la masse discrète. La première amélioration concerne l’équation d’advection et introduit un multiplicateur de Lagrange scalaire, associé à la conservation globale de la masse. Ce multiplicateur peut être calculé explicitement et conduit à un coût négligeable en temps de calcul. La seconde amélioration est une extension aux éléments finis de la méthode proposée par Sussman et Fatemi : il s’agit d’introduire un multiplicateur de Lagrange local. Ce multiplicateur peutêtre également explicité et est nul hors d’un voisinage de l’interface. La correction est ici également très peu coûteuse. Les performances de la méthode proposé sont testées avec le cas test du disque de Zalesak, et nous observons que le taux de convergence par rapport à la taille des éléments du maillage est amélioré. Soit Λ ⊂ RN un domaine borné, avec N = 2 ou 3, et T > 0. Pour tout t ∈ ]0, T [, la surface fermée Γ (t) ⊂ Λ s’écrit comme : Γ (t)= {(t, x) ∈ ]0, T [×Λ; φ(t, x)= 0}, c’est-à-dire comme le zéro d’une fonction de niveau φ(t, .). Notons Ω(t)⊂ Λ la région où φ(t, .) est négatif et Γ (t)= ∂Ω(t). Soit u la vitesse de Γ (t) et Dφ Dt = ∂φ ∂t + u.∇φ = 0 (1) où Dφ/Dt désigne la dérivé matérielle. Le champs de vitesse u est supposé à divergence nulle. Cette équation de transport est complétée par une condition initiale φ(t = 0)= φ0, où, pour tout x ∈Λ, la fonction φ0(x) est une distance signée entre x et la surface Γ (0) : φ0(x)= { inf{|y − x|; y ∈ Γ (0)} si x / ∈Ω(0) inf{−|y − x|; y ∈ Γ (0)} sinon Cependant, le transport déforme la forme initiale de la fonction de niveau, qui n’est plus une distance signée pour t > 0. Pour palier à cela, nous effectuons une ré-initilisation à une distance signée, appelée redistanciation, en calculant, à tout instant t ∈ ]0, T [, la solution stationnaire du problème suivant, utilisant le pseudo-temps τ : ⎧⎨ ⎩ ∂d ∂τ (τ , x; t)+ sgn(φ)(|∇d| − 1)= 0 p.p. (τ , x) ∈ ]0,+∞[×Λ d(0, x; t)= φ(t, x) p.p. x ∈Λ (2) où sgn(φ) est la fonction signe qui prend respectivement les valeurs 0,−1,+1 sur l’interface Γ (t), dans Γ (t) et hors de Γ (t). La solution stationnaire vérifie |∇d| = 1 presque partout dans Λ, c’est-à-dire que d(∞, .; t) est une distance signée, elle est prise comme la nouvelle fonction de niveau φ(t, .) à l’instant t . Remarquons que la solution d du problème de redistanciation (2) conserve la position de Γ (t) : pour tout τ > 0, l’ensemble de niveau zéro de d(τ , .; t) est égal à l’ensemble de niveau zéro de φ(t, .). Il en résulte que le volume meas(Ω(t)) est également conservé, ce qui est de première importance pour de nombreuses applications. Cependant, après discrétisation par différences finies ou éléments finis, cette propriété n’est satisfaite que de façon approchée. Nous proposons un nouvel algorithme pour améliorer la conservation de la masse dans la méthode des fonctions de niveau dans un cadre éléments finis. Deux types de multiplicateurs de Lagrange sont introduits, associés respectivement à l’équation d’advection et à celle de redistanciation. Le premier est localisé au voisinage de l’interface, tandis que le second est associé à une correction globale au domaine de calcul. Les performances de la méthode proposée sont ensuite testées avec le cas test du disque de Zalesak, et nous observons que le taux de convergence par rapport à la taille des éléments du maillage est amélioré. 1. Maintaining the volume constraint Let us introduce the velocity field v= sgn(φ) ∇d |∇d| . Then, problem (2) expresses equivalently as: ⎧⎨ ⎩ ∂d ∂τ (τ , x; t)+ v.∇d= sgn(φ(t, x)) a.e. (τ , x) ∈ ]0,+∞[×Λ d(0, x; t)= φ(x, t) a.e. x ∈Λ (3) 1.1. The volume constraint for the advection problem A new modification is introduced in the advection equation (1) related to the divergence free velocity field u. At any time t ∈ ]0, T [, the global volume conservation writes: A. Laadhari et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 348 (2010) 535–540 537